数模论文的写作在比赛中可能是你论文质量好坏，得奖与否
的最重要的因素。很多同学在准备比赛时，把自己的主要精力放在阅
读往年优秀论文，精通某种软件和算法上面。不可否认，这会使你的建模水平得到提高，但
在比赛时，你的想法再好，如果文字表达不清楚，很有可能使你的论文前功尽弃，因此学会
如何写数模论文就很有必要了。下面我对数模论文中的十个板块的写作谈谈我的看法：
1.  摘要：
勿庸置疑，摘要在整个数模论文中占有及其重要的地位，它是评委对你所写论文的第一
印象，因此在这一部分的写作上一定要花大功夫，千万不能马虎。拿美国赛(MCM&ICM)来
说吧，摘要是你的论文是否取得好名次的决定性因素，评委们通过你的摘要就决定是否继续
阅读你的论文。换句话说，就算你的论文其他方面写得再好，摘要不行，你的论文也不会得
到重视。我认为在写摘要时应包括 6个方面： 问题，方法，模型，算法，结论，特色。 简
而言之，摘要应该体现你用什么方法，解决了什么问题，得出了什么结论。另外，通过我阅
读美国赛 Outstanding 的论文来看，好的摘要都包含了两个共同的特点：simple 和 clear，大
家可以借鉴一下。
2．  问题提出：
        这一部分没有过多的说明，一般是直接 copy 赛题的原文就行了，但我认为在时间充裕
情况下可以适当归纳总结;在美国赛中，这一部分叫 Background 或者 Introduction， 因此可
以写点这个问题的一些背景知识。
3．  模型假设：
 假设的条件一般可以从题目中挖掘。另外假设需要值得注意的两点是：①对我们
所解决问题本身没有影响(或影响比较小)但可以使模型得到简化的因素应该在假设中体现。
②。不能为了简化问题而大量假设(使求解问题本身与原题意不符)，因此应注意假设的’量’
与’度’。
4．符号说明：
        在你的论文中不可避免的会出现大量的数学符号， 因此在这部分里应把这些符号做一个
简要的说明，可以从符号，类型(变量，常量)，单位，含义几个方面来说明(如下表)：
符号 类型 单位 含义

需要注意的是单位量纲要统一，含义解释要准确，清楚。
5．问题分析：
从题目到模型是一种从具体到抽象的思维过程，本部分即是这一过程的体现。这部分是文章的
一个亮点，建议在文字说明的同时用图形或图表列出思维过程，这会使你
的思维显得很清晰，让人觉得一目了然。另外，这部分应对题目做整体分析，充分利用题目
中的信息和条件，确定用什么方法建立模型。我们可以从题目中得到问题
的一些初步的判定：(比如说可以得到在极限情况下的最大产量，花费的最少时间等，在我
们最后得到的方案不能超过(或低于)我们这里分析的量。)，在这部分应体现我们解决原问题
数学建模竞赛通讯稿件的雏形。总之，  问题分析在整个论文中的作用在于承上启下，也很能
反应出参赛者的综合水平。
6．模型建立：
模型的建立是将原问题抽象成用数学语言的表达式， 其建立方式会由于对问题的理解和
着眼点不同而不同。近年来我发现我国的数学建模竞赛出题主要有两个方向：一是概率统计
问题；一是运筹优化问题。因此掌握好以上两方面的知识对于建立模型来说是十分重要的。
另外，我还觉得应注意对每个模型式子的解释一定要清楚到位，其中的数学符号一定要与前
面的说明保持一致。
7．模型求解：
模型求解的方式很多， 但一般多用软件编程求解， 在这里我建议大家多用数学软件求解，
三大软件(Matlab，Maple，Mathematic)至少应熟悉一种，另外应学会一些专用软件。比如说
解概率统计问题的 SAS，Splus，SPSS；解运筹优化问题的 Lingo，Lindo 等。其次尽量用不
同方法求解，这既能反应出你的思维比较开阔，也能间接地验证你所求解结果的正确性。另
外应给出主要算法的一些简要步骤，处理或简化问题的方式，并适当应用表格或图像说明。
 
8．模型(结果分析)：
        在我们的模型假设中，忽略了一些对问题影响的次要因素，这或多或少的使问题得到了
简化，但必然会产生一些误差；另外解决问题的方法是很多的，在论文中可能只用了其中的
一两种方法，思维可能显得比较局限；而模型本身也会有它的优势和缺陷。因此，我们在这
部分应该做的工作主要有下面三点：
A．  是否能用其他方式或方法解决。
B． 模型的优缺点分析。
C． 模型的误差分析或灵敏度分析。
        做好上面的工作，既是对原问题的补充说明，更表现一种思维的严谨和逻辑的严密，使
你的论文一气呵成，显得很完备。
9．模型的评价与推广：
         由于文章本身的局限性，在这里可以对一些问题做更深入的探讨，这是文章又一亮点，
实力比较强的队伍可以在这一块充分发挥。 这部分对于整个论文的作用在于画龙点睛。 另外，
我们对问题的探讨与延拓方式是多种多样的：可以把假设的条件适当放宽了来考虑问题;可
以对你的算法做出改进等等，我认为在这里做做定性的分析就够了，最后主要对问题的横向
和纵向两方面进行发散。
10．参考文献
这里注意一下格式问题，参赛要求有明确规定：
A．书籍的表述方式为：  [编号] 作者，书名，出版地：出版社，出版年。
B．参考文献中期刊杂志论文的表述方式为：  [编号] 作者，论文名，杂志名，卷期号：
起止页码，出版年。
C．参考文献中网上资源的表述方式为：  [编号] 作者，资源标题，网址，访问时间。
         至于附录，附上相关程序及运行结果，数学上的证明即可，其他的一些注意事项在这
里就不冗述了，最后注意一下论文的整体感，特别是文字表述是否准确严密。
         我想告诉大家的是我们参加比赛的目的不应只在于其结果，而应注重其过程，参加
数模赛本身就是对自己的一个挑战，就是一种胜利，我们能学到很多在书本中学不到的东西。
总之，一朝参赛，终身受益，也希望更多的大学生参与到数模竞赛中来。

摘自  西南交通大学理学院 有改动

工作指南

  鉴于有些新加入建模小组的成员对我们的工作有诸多疑问,特有以下说明.

1.       我们的建模小组完全是兴趣小组,不强迫,大家自觉自愿,下面的也只是建议,不是强迫,更不是作业.

2.       小组尽量少开会,多做点实事.但是实在有什么要讨论和想法这还是必不可少的。有任何有关数学建模方面的疑问可以到QQ群上细问。

3.       小组平时的最重要的事是希望大家能够把平时的关于建模的想法和所得通过写文章能够得到有效的交流. 主要工作是每周一篇主题文章，介绍有关数学建模的一种特定的方法。但鼓励大家写任何主题，而又对数学建模有帮助的文章，哪怕是不成文的片段。

具体如下:

一.   查找资料.每周前几天抽一些时间浏览一些关于每周主题的数学建模的文章,可以上网,亦可以去图书馆的资料库去查找资料,强烈建议大家使用后一种方法.建议时间是周一到周三，在这段时间你可以认为有用的资料放到邮箱。zhongdashumo@sina.com 。也可直接放上博客http://blog.sina.com.cn/zhongdashumo。

二.   草稿成形.在收集并整理一些有效资料之后,可以将每人认为的有用的资料写出来,要用自己的话,不要复制粘贴等等.建议大家写出自己的看法和感受,然后还有个建议,希望各位能就自己的文章提一个,就一个有效地问题留给大家好讨论讨论.建议时间是周四到周五.到周五晚上写好草稿.

三.   文章定型.主要是建议大家能在每周的后期在对自己的文章修修补补,把自己的遗漏的想法和看法补上最好能把关于自己的问题的答案提供一些思考点和想法,当然亦可以是大家的讨论之后的结果整理一下.建议时间是周六和周日.

4.       图书馆资源的使方法请细看http://blog.sina.com.cn/s/blog_656fe31a0100h7ie.htm

5.       有关matlab的使用，建议大家自己先看看书。

数学建模，也许对于没有参加过比赛的同学而言，是一个“可远观而不可亵玩”的比赛项目。其实并非如此，只要你懂得如何运用自己所学的知识，再加上与伙伴的合作，一篇数学建模的论文可能就出来了。

不过要想获得全国奖可能就没那么简单了，得要有一定的准备。对于从未参赛的同学而言，姜启源老师的《数学模型》就应该好好读读了，那本书有很多最基本的模型。看这本书，其实我个人觉得最重要的不是那里的模型，而是懂得遇到问题时能运用自己所有的知识去解答。那本书里面的很多模型绝对不是万能公式，也绝不是遇到类似问题都可以死搬硬套的，简单来说是学会那种思想。

等找到那种思想之后，就应该去找找相关的知识了。比如，一些基本的算法，MATLAB，Mathematica等数学软件的操作，如果觉得这些没时间学的话，那最基本的excel，一些统计软件总要学学吧！可能到了真正建模的时候这些软件就因人而异了，觉得自己熟悉哪个就用哪个，其实效果也差不多。但有一点是需要注意的，参加全国赛的时候要很注意，答案的越精确越好，这个时候也许就应该考虑MATLAB了。

等你参赛的基本知识都在循序渐进的开展的时候，你得要去找你的伙伴了。数学建模要求三个人以下一组，最好也就三个人一队，这样工作量会少一点，尽量减少熬夜通宵。三个人中，一个要对建模很有感悟，一个要对软件操作很熟练，一个要数学表达好。其中很多要三个人配合的默契，三个人都要懂得每个人在想些什么，要为对方提供些什么，软件手要为建模人提供建模效果，而软件手和建模人又要同时将思想传达给拿笔的人，这样一篇论文就是三个人共同的结果，当然这样的过程需要一定的时间去磨合。其中的乐趣也只有等到三个人一起参加数学建模比赛的时候才能慢慢享受。

引用全国数学建模官方网站上的一句话“一次参赛，终身受益”。其中不但是学会运用自己所学的知识，更是增加学习数学的一份乐趣，因为你懂得了自己曾学过的数分几代是很有用的，那种动力是不言而喻的。再者，在这个过程你也得到人际交往的很多东西，谦让，分工，等等。当你回过头去看你们三个人一起解决问题的那个过程，你会另外一种思考，当然这个也就因人而异了，慢慢去体会罢了。

数学建模前的准备是寂寞的，要有数学人的那种甘于寂寞的精神，自己的能力才会一步步提高。在数学建模的过程中，要去享受那个过程，可能大学四年也就那么几天可以让你去体会数学建模其中的乐趣。

by 枫叶

Curve fitting is the process of constructing a curve, or mathematical function, that has the best fit to a series of data points, possibly subject to constraints. Curve fitting can involve either interpolation, where an exact fit to the data is required, or smoothing, in which a "smooth" function is constructed that approximately fits the data. A related topic is regression analysis, which focuses more on questions of statistical inference such as how much uncertainty is present in a curve that is fit to data observed with random errors. Fitted curves can be used as an aid for data visualization, to infer values of a function where no data are available, and to summarize the relationships among two or more variables. Extrapolation refers to the use of a fitted curve beyond the range of the observed data, and is subject to a greater degree of uncertainty since it may reflect the method used to construct the curve as much as it reflects the observed data.

            摘入维基百科http://en.wikipedia.org/wiki/Curve_fitting

它告诉我们拟合侧重于调整曲线的参数，使得与数据相符。

而回归重在研究两个变量或多个变量之间的关系。它可以用拟合的手法来研究两个变量的关系，以及出现的误差。

2010 MCM题目

A题：棒球棒上的最佳击球点

Explain the “sweet spot” on a baseball bat.

Does the material out of which the bat is constructed matter? That is, does this model predict different behavior for wood (usually ash) or metal (usually aluminum) bats? Is this why Major League Baseball prohibits metal bats?

中文翻译：

解释棒球棒上的“最佳击球点”。

每一个棒球手都知道在棒球棒比较粗的部分有一个击球点，这里可以把打击球的力量最大程度地转移到球上。为什么这个点不在棒球棒的最末端？基于力矩的解释或许可以解释确定棒球棒的最末端就是最佳的击球点，但是实际当中并不是这样的。构建一个模型帮助解释实际当中的这个发现。

有一些棒球手相信在最佳击球点添充上软木塞可以提高打击效果（在球棒头部挖一个圆柱状槽，填充上软木塞或者橡皮）。进一步扩展模型确认或者否定该结论。这个解释是否可以解释为什么棒球联盟否定这种做法。

球棒是否和材质有关系，模型是否可以预测木头和金属球棒的不同打击效果？这是否是联盟禁止金属球棒的原因？

PROBLEM B: Criminology

In 1981 Peter Sutcliffe was convicted of thirteen murders and subjecting a number of other people to vicious attacks. One of the methods used to narrow the search for Mr. Sutcliffe was to find a “center of mass” of the locations of the attacks. In the end, the suspect happened to live in the same town predicted by this technique. Since that time, a number of more sophisticated techniques have been developed to determine the “geographical profile” of a suspected serial criminal based on the locations of the crimes.

Your team has been asked by a local police agency to develop a method to aid in their investigations of serial criminals. The approach that you develop should make use of at least two different schemes to generate a geographical profile. You should develop a technique to combine the results of the different schemes and generate a useful prediction for law enforcement officers. The prediction should provide some kind of estimate or guidance about possible locations of the next crime based on the time and locations of the past crime scenes. If you make use of any other evidence in your estimate, you must provide specific details about how you incorporate the extra information. Your method should also provide some kind of estimate about how reliable the estimate will be in a given situation, including appropriate warnings.

In addition to the required one-page summary, your report should include an additional two-page executive summary. The executive summary should provide a broad overview of the potential issues. It should provide an overview of your approach and describe situations when it is an appropriate tool and situations in which it is not an appropriate tool. The executive summary will be read by a chief of police and should include technical details appropriate to the intended audience.

中文翻译：

1981年Peter Sutcliffe(萨克利夫)被判刑因为他参与了十三起谋杀和对其他人的恶毒攻击。缩小搜索Sutcliffe的方法之一是发现一个攻击位置的“质心”.最终犯罪嫌疑人恰好生活在该方法预测的同一个小镇。从那时起，已经发展出一系列更加复杂的技术用来预测基于犯罪地点的具有地理效应（地理轮廓）的系列犯罪行为。

你的团队被一个当地警察局要求发展出一种方法用来帮助他们的系列犯罪调查。你们的方法应该至少需要利用两种不同的情景以生成地理效应（地理轮廓），进而根据不同情况下的分析结果对执法人员提供有效的预测。基于以往犯罪的时间和位置，预测信息应该提供一些估计或指导下次可能的犯罪地点。如果在预测中用到了其它的信息，必须提供特别的细节说明告诉我们这些信息是如何被整合的。你们的方法中也应该包括在给定条件下（包括适当警告信息）下预测的可靠性估计。

除了必要的一页小结，你们的报告应该包括两页额外的总结。这两页总结应该提供潜在问题的概述，它应该提供什么情况下，你们提出的方法是一个恰当的工具，在哪些情况下它不是。执行摘要将宣读了警察局长，并应包括适当的目标受众的技术细节。

线性规划

1.概述

　 线性规划 (简记 LP)是合理利用、 调配资源的一种优化方法，是运筹学的内容。它的基本思路就是在满足一定的约束条件下 ,使预定的目标达到最优.它的研究内容可归纳为两个方面:一是系统的任务已定 ,如何合理筹划 ,精细安排 ,用最少的资源去实现这个任务;二是资源的数量已定 ,如何利用、 分配 ,使任务完成得最多.前者是求极小 ,后者是求极大. 线性规划是在满足企业内、 外部的条件下 ,实现管理目标和极值问题 ,就是要以尽少的资源输入来实现更多的社会需要的产品的产出.数学建模竞赛中很多问题都和数学规划有关 ,不少的模型都可以归结为一组不等式作为约束条件、 几个函数表达式作为目标函数的问题 ,遇到这类问题 ,求解就是关键. 现在通过专门的数学 MAT LAB软件 ,只要将模型中的目标函数系数、 约束条件系数、 不等关系输入计算机 ,就会很快算出结果.与传统的图解法、 单纯形法等比较 ,就显得格外方便 ,其适用领域更为广泛.

2.模型

线性规划模型 ,其一般形式为

m in  f = c 1 x1 + c 2 x2 + … + cn xn (1)

a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn <= b 1

a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn <= b 2

…　…                                （2）

am1 x1 + am2 x2 + … + am n xn <= b m

xj >= 0 , j = 1, 2, …, n .(3)

其中 (1)称为目标函数 , (2)称为约束条件 , (3)称为变量约束.线性规划模型的特征是目标函数和约束条件均为线性函数.

3.案例

某地区水源取自某水库 ,水库涵洞底标高为 45m,水输送到调节水池距离为 1470m,调节水池最高水位 35m (高 10m) ,该段距离中要求输水量174L / s ;另一段 ,从调节水池输水到某水厂的距离为4780m,调节水池低水位标高为 30m,水厂水池标高为 17 . 5m,高差 12 . 5m,要求输水量 116L / s . ,可供铺设的输水管有四种不同直径 ,它们的单位长度造价和水头损失列于表中.问应如何适当选择输水管进行铺设 ,既能保证供水 ,又能使造价最低.

表 1　输水管道单位长度造价和水头损失

管径 单价(元 /m) 单位长度水头损失 (m /1000m)   损失 h /m

                  Q = 174L / s时的水头         Q = 116L / s时的水头

600      110       0. 873                       0. 419

500      70        2. 160                       1. 030

400      54        6. 760                       3. 120

300      36        31. 000                      13. 800

解 　①对第一段水库到调节水池 ,设管径为

600、 500、 400、 300的输水营的铺设长度分别为 x1 ,

x2 , x3 , x4 , 为保证供水 ,要求

x1 + x2 + x3 + x4 = 1470

另外 ,要求输水量为 174L / s时 ,该段总水头损失不超过 10m,即

0 . 873×1 + 2 . 160×2 + 6 . 706×3 + 31 . 000×4 <=10 ×1000

而输水管道铺设的且造价为

100×1 + 70×2 + 54×3 + 36×4

得到如下线性规划模型为

min 100×1 + 70×2 + 54×3 + 36×4

s . t .

0 . 873×1 + 2 . 160×2 + 6 . 760×3 + 31 . 000×4<= 10 ×1000

x1 + x2 + x3 + x4 = 1470

x1 , x2 , x3 , x4>= 0

4计算

求解如下:

m f = [ 110, 70, 54, 36 ]′ ;

A = [ 0 . 873, 2 . 160, 6 . 760, 31 . 000 ] ;

b = [ 10000 ] ;

Aeq = [ 1, 1, 1, 1 ];

beq = [ 1470 ] ;

lb = zeros(4, 1) ;

[ x, fval ] = linprog( f,A, b,Aeq, beq, lb)

没有人怀疑线性规划在运筹学中的地位。

在很多运筹学的教材上，它都会被放在第一章讲解，即便它不是最高等的方法，即便它的思想近乎朴素。

在这个效率优先的时代，众多领域中，但凡涉及最优解的问题，首先考虑的方法即是线性规划。

线性规划作为运筹学的一个分支发展至今，从建立模型到求的最优解的整个过程，都有一套发展较为完备的体系和理论。涉及到生产计划以及类似的问题时，线性规划显然是首选的方法。

然而，线性规划并不是没有其因为方法本身或者问题本身超出方法谈到的要求所产生的某些局限性。

非常明显的一点是，线性规划模型实质上还是一个静态的模型。事实上，随着约束条件的变化，目标函数中的一些指标常常并非一成不变。举例来说，在考虑生产计划，即如何选择产业结构使生产成本最低的时候，成本系数实质上是一个会根据产业结构和模式之变化而难以绝对保持静态的变量，这就势必导致模型的理想化。

另一方面，生产过程也不是一个绝对静态的过程，即产业结构本身，或者说约束条件中的每一项指标，也会产生某些动态的过程，即它并非可以完全按照单纯形法中矩阵变换的简单方法去解决。一旦考虑到时间轴上的某些变化，问题的复杂程度就不是线性规划模型多能够做到了的。

总的来说，线性规划模型是一种比较机械性的模型，这种机械性决定它在某种意义上不可避免的局限性。